数字滤波器的设计主要有两种：IIR与FIR。IIR滤波器有成熟的模拟滤波器可以参考，比较方便，但需使用全通滤波器对相位进行补偿才能实现线性相位。FIR滤波器在满足一定对称条件下，可以实现IIR滤波器难以实现的线性相位。由于在数字信号处理领域中，往往要求信号在传输过程不能有明显的相位失真，因而FIR滤波器获得了广泛应用。

FIR滤波器的设计过程，其核心是求出有限长的脉冲响应来逼近给定的频响。常用的设计方法有：窗函数法，频率取样法。由于这两种方法对通阻带边界与波动不易控制，所以在实际应用中有一定的局限性，为此出现了一些优化设计方法，如利用最大误差最小化准则的REMEZ交换算法与线性规划算法。加权最小二乘法设计虽然容易实现且能得到解析解，但这种算法需要计算一个矩阵的逆，当滤波器的阶数很高时，这个矩阵的逆较难求出，采用递推最小二乘法设计算法，可以不需要计算高阶矩阵的逆，但是，误差加权函数只凭经验确定，计算速度不够快。本文提出的神经网络优化设计方法，基本思想是使设计的频响与理想频响之间的全局误差在通带和阻带范围为最小。由该方法设计的滤波器，通带和阻带范围无过冲、无波动，阻带衰减特性良好，设计精度高，易于精确控制通带与阻带边界频率Ωp与Ωr，因而是一种优异的设计方法。

2 4型FIR滤波器幅频特性

由式(3)可知，用形如式(3)的神经网络模型来逼近理想的4型FIR数字滤波器即可获得网络权值ωn即d(n)，由式(4)，式(5)可获得滤波器脉冲响应h(n)，n=0，1，…，N-1，从而设计出性能指标优异的4型FIR数字滤波器。由于4型FIR滤波器适合作高通滤波器和带通滤波器，因此，下面先研究神经网络算法及其收敛条件，然后给出基于正弦基神经网络算法的4型FIR高通滤波器、带通滤波器的优化设计实例。

3 正弦基神经网络模型

正弦基神经网络模型如图1所示，其中c1(ω)，c2(ω)，c3(ω)，…，cN(ω)为正弦基函数。即：

3.1 正弦基函数神经网络算法

神经网络输出：

其中t=0，1，2，…，m-1，m为训练样本数，Hd(ωt)为期望输出，H(ωt)为神经网络输出。

性能指标：

3.2 神经网络收敛性定理

定理1 当学习率取为：0<η≤2／N时，该正弦基神经网络算法是收敛的，其中N是隐层神经元个数。

证明略。

3.3 神经网络的训练步骤

step1：将理想幅频响应 Hd(ejΩt) 均匀取样获取训练样本集：{Ωt， Hd(ejΩt) }，令J=0，随即产生权值ωn，给定任意小正实数ε，N是滤波器的长度，p=N／2，其中：

step5：判断样本集是否训练完毕，未完，返回(第二步)继续训练，否则判断指标J是否小于给定的任意小正实数ε。若J>ε，则令J=0，返回(第二步)继续训练，若J≤ε，则结束训练。

4 应用实例

例 设某理想高通滤波器的幅频特性为：

要求设计一个1 359阶的FIR高通滤波器。设计方法如下：取N=1 360，则：p=N／2=680，对ω在[0，π]内的理想高通滤波器的幅频特性均匀取样，为了使通带和阻带无过冲与波动现象，在过渡带中分别取两个样本点0.1和0.707，因此实际取样序列为：

网络结构为1*680*1，将取样序列送神经网络训练。经过65次训练，累计误差为J=5.637 3×10-16。脉冲相应特性如图2所示，幅频特性如图3所示。

5 结语

本文提出了一种正弦基函数神经网络模型，证明了该神经网络算法的收敛条件，并给出了4型FIR高通滤波器的优化设计实例。由文中的范例可以看出，该算法初始条件随机给定，收敛速度快，用该方法设计的FIR高通滤波器，其幅频响应通带无过冲和波动现象，经神经网络训练后的幅频阻带衰减在100dB以上，因此这是一种有效的优化设计方法。